هندسه محاسباتی، طراحی و تحلیل الگوریتم ها

Summarize this content to 400 words in Persian Lang

مقدمه ای بر هندسه محاسباتی

بررسی اجمالی هندسه محاسباتی:

هندسه محاسباتی شاخه ای از علوم کامپیوتر و ریاضیات است که به مطالعه اجسام هندسی و الگوریتم های مدیریت آنها می پردازد. این شامل حل مسائل هندسی با استفاده از تکنیک های محاسباتی است و برای کاربردهای مختلف در گرافیک کامپیوتری، طراحی به کمک کامپیوتر (CAD)، روباتیک و سیستم های اطلاعات جغرافیایی (GIS) اساسی است.

کاربردهای هندسه محاسباتی:

گرافیک کامپیوتری: رندرینگ و دستکاری اشکال و سطوح.

طراحی به کمک کامپیوتر (CAD): طراحی و تحلیل قطعات و سازه های مکانیکی.

رباتیک: برنامه ریزی مسیر و تحلیل حرکت

سیستم های اطلاعات جغرافیایی (GIS): تجزیه و تحلیل داده های مکانی و اطلاعات جغرافیایی.

الگو شناسی: شناسایی الگوها و اشکال در پردازش تصویر.

اجسام و عملیات هندسی پایه

نقاط، خطوط، قطعات خط و سطوح:

نکته ها: واحدهای اساسی در هندسه که نشان دهنده یک مکان در فضا هستند.

خطوط: در هر دو جهت بی نهایت گسترش یافته و با دو نقطه مشخص می شوند.

بخش های خط: بخشی از یک خط که توسط دو نقطه پایانی تعریف شده است.

هواپیماها: سطوح مسطح که بی نهایت در دو بعد گسترش می یابند.

بردارها و عملیات بردار:

بردارها: کمیت ها را با قدر و جهت نمایش دهید. برای توصیف ترجمه ها و جهت ها در فضا استفاده می شود.

عملیات بردار: شامل جمع، تفریق، حاصل ضرب نقطه ای، ضربدری، و مقیاس بندی. این عملیات برای انجام تبدیلات هندسی و محاسبات استفاده می شود.

تبدیل‌های هندسی پایه (ترجمه، چرخش، مقیاس‌بندی):

ترجمه: حرکت یک شی هندسی از یک مکان به مکان دیگر بدون تغییر شکل یا اندازه آن.

چرخش: چرخاندن یک جسم به دور یک نقطه ثابت (یا مبدأ) با زاویه معین.

مقیاس بندی: تغییر اندازه یک جسم با حفظ شکل آن، با بزرگ کردن یا کوچک کردن آن.

متریک و اندازه گیری فاصله:

فاصله اقلیدسی: فاصله خط مستقیم بین دو نقطه در فضای اقلیدسی.

فاصله منهتن: فاصله بین دو نقطه در امتداد محورها در زاویه قائم اندازه گیری می شود.

سایر معیارها: شامل فاصله چبیشف و فاصله مینکوفسکی است که در زمینه های مختلف هندسی و کاربردی استفاده می شود.

نمونه هایی از الگوریتم های هندسه محاسباتی

هندسه محاسباتی شامل الگوریتم های مختلفی برای حل موثر مسائل هندسی است. در اینجا نمونه‌هایی از الگوریتم‌های رایج پیاده‌سازی شده با استفاده از پارادایم تقسیم کن:

نزدیکترین جفت امتیاز (1D)

در یک بعدی، یافتن نزدیکترین جفت نقاط را می توان با استفاده از رویکرد تقسیم و غلبه به طور موثر انجام داد. ایده این است که نقاط را به صورت بازگشتی به گروه های کوچکتر تقسیم کنید و نزدیک ترین جفت را در هر گروه پیدا کنید.

پیاده سازی پایتون:

def closest_pair_1d(points):
def find_closest_pair(sorted_points):
# Base case: If there are only two points, return them
if len(sorted_points) == 2:
return sorted_points[0], sorted_points[1] # Base case: If there are three points, return the closest pair
if len(sorted_points) == 3:
return min(
((sorted_points[0], sorted_points[1]),
(sorted_points[1], sorted_points[2]),
(sorted_points[0], sorted_points[2])),
key=lambda pair: abs(pair[1] – pair[0])
)
# Divide the points into two halves
mid = len(sorted_points) // 2
left_half = sorted_points[:mid] right_half = sorted_points[mid:] # Find the closest pair in each half
closest_pair_left = find_closest_pair(left_half)
closest_pair_right = find_closest_pair(right_half)
# Find the closest pair across the split
closest_pair_split = (left_half[-1], right_half[0])
# Return the overall closest pair
return min(closest_pair_left, closest_pair_right, closest_pair_split, key=lambda pair: abs(pair[1] – pair[0]))

if len(points) < 2:
raise ValueError(“At least two points are required”)
# Sort the points
sorted_points = sorted(points)
# Find the closest pair using divide and conquer
return find_closest_pair(sorted_points)

# Example usage
points = [0, 1, 3, 5, 7, 9, 11] closest_points = closest_pair_1d(points)
print(f”The closest pair of points is: {closest_points}”)

نزدیکترین جفت امتیاز (2 بعدی)

در دو بعدی، مسئله نزدیکترین جفت نقطه پیچیده تر است. این شامل مرتب‌سازی نقاط و یافتن بازگشتی نزدیک‌ترین جفت در بخش‌های تقسیم‌شده، سپس بررسی در سراسر مرز تقسیم می‌شود.

پیاده سازی پایتون:

import math

def distance(point1, point2):
return math.sqrt((point1[0] – point2[0]) ** 2 + (point1[1] – point2[1]) ** 2)

def closest_pair_2d(points):
def closest_pair_recursive(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y):
n = len(points_sorted_by_x)

if n <= 3:
return brute_force_closest_pair(points_sorted_by_x)

mid = n // 2
left_half_x = points_sorted_by_x[:mid] right_half_x = points_sorted_by_x[mid:]

midpoint = points_sorted_by_x[mid][0] left_half_y = list(filter(lambda x: x[0] <= midpoint, points_sorted_by_y))
right_half_y = list(filter(lambda x: x[0] > midpoint, points_sorted_by_y))

(p1, q1, d1) = closest_pair_recursive(left_half_x, left_half_y)
(p2, q2, d2) = closest_pair_recursive(right_half_x, right_half_y)

if d1 < d2:
d = d1
min_pair = (p1, q1)
else:
d = d2
min_pair = (p2, q2)

(p3, q3, d3) = closest_split_pair(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y, d, min_pair)

if d3 < d:
return (p3, q3, d3)
else:
return min_pair[0], min_pair[1], d

def brute_force_closest_pair(points):
min_dist = float(‘inf’)
p1 = None
p2 = None
for i in range(len(points)):
for j in range(i + 1, len(points)):
d = distance(points[i], points[j])
if d < min_dist:
min_dist = d
p1, p2 = points[i], points[j] return p1, p2, min_dist

def closest_split_pair(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y, delta, best_pair):
n = len(points_sorted_by_x)
mid_x = points_sorted_by_x[n // 2][0]

Sy = [point for point in points_sorted_by_y if mid_x – delta <= point[0] <= mid_x + delta]

best = delta
len_Sy = len(Sy)
for i in range(len_Sy – 1):
for j in range(i + 1, min(i + 7, len_Sy)):
p, q = Sy[i], Sy[j] dst = distance(p, q)
if dst < best:
best = dst
best_pair = (p, q)
return best_pair[0], best_pair[1], best

points_sorted_by_x = sorted(points, key=lambda x: x[0])
points_sorted_by_y = sorted(points, key=lambda x: x[1])

p1, p2, min_dist = closest_pair_recursive(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y)
return p1, p2, min_dist

# Example usage
points = [(2, 3), (2, 4), (12, 30), (40, 50), (5, 1), (12, 10), (3, 4)] closest_points = closest_pair_2d(points)
print(f”The closest pair of points is: {closest_points[0]} and {closest_points[1]} with a distance of {closest_points[2]}”)

اسکن گراهام (هال محدب)

گراهام اسکن الگوریتمی برای یافتن بدنه محدب مجموعه ای از نقاط به صورت دو بعدی است. نقاط را بر اساس زاویه قطبی نسبت به یک محور مرتب می کند و سپس بدنه محدب را می سازد.

پیاده سازی پایتون:

import math

def graham_scan(points):
# Find the point with the lowest y-coordinate, break ties by x-coordinate
pivot = min(points, key=lambda p: (p[1], p[0]))
points.remove(pivot)

# Sort the points based on polar angle with the pivot
points.sort(key=lambda p: (math.atan2(p[1] – pivot[1], p[0] – pivot[0]), p[1], p[0]))

# Add the pivot back to the beginning
points.insert(0, pivot)

# Initialize the hull with the first two points
hull = [points[0], points[1]]

for p in points[2:]:
while len(hull) > 1 and orientation(hull[-2], hull[-1], p) != 2:
hull.pop()
hull.append(p)

return hull

def orientation(p, q, r):
# Function to find the orientation of the triplet (p, q, r)
# 0 -> p, q, and r are collinear
# 1 -> Clockwise
# 2 -> Counterclockwise
val = (q[1] – p[1]) * (r[0] – q[0]) – (q[0] – p[0]) * (r[1] – q[1])
if val == 0:
return 0
elif val > 0:
return 1
else:
return 2

# Sample points
points = [(0, 0), (1, 1), (2, 2), (2, 0), (0, 2), (0.5, 2.5), (2.5, 2)]

# Call the function
convex_hull = graham_scan(points)

# Print the result
print(“Convex Hull:”, convex_hull)

جارویس مارچ (کادوپیچ) (کاسه محدب)

Jarvis March (Gift Wrapping) الگوریتم دیگری برای یافتن بدنه محدب است. از سمت چپ ترین نقطه شروع می شود و دور نقاط می پیچد تا بدنه را پیدا کند.

پیاده سازی پایتون:

def gift_wrapping(points):
hull = [] start = min(points, key=lambda p: p[0]) # Find the leftmost point
on_hull = start
while True:
hull.append(on_hull)
next_point = points[0] for p in points:
if (next_point == on_hull) or (orientation(on_hull, next_point, p) == 2):
next_point = p
on_hull = next_point
if on_hull == start:
break
return hull

def orientation(p, q, r):
# Function to find the orientation of the triplet (p, q, r)
# 0 -> p

, q, and r are collinear
# 1 -> Clockwise
# 2 -> Counterclockwise
val = (q[1] – p[1]) * (r[0] – q[0]) – (q[0] – p[0]) * (r[1] – q[1])
if val == 0:
return 0
elif val > 0:
return 1
else:
return 2

# Sample points
points = [(0, 0), (1, 1), (2, 2), (2, 0), (0, 2), (0.5, 2.5), (2.5, 2)]

# Call the function
convex_hull = gift_wrapping(points)

# Print the result
print(“Convex Hull:”, convex_hull)

این پیاده سازی ها یک نقطه شروع عملی برای کاوش الگوریتم های هندسه محاسباتی فراهم می کنند.

مقدمه ای بر هندسه محاسباتی

بررسی اجمالی هندسه محاسباتی:

هندسه محاسباتی شاخه ای از علوم کامپیوتر و ریاضیات است که به مطالعه اجسام هندسی و الگوریتم های مدیریت آنها می پردازد. این شامل حل مسائل هندسی با استفاده از تکنیک های محاسباتی است و برای کاربردهای مختلف در گرافیک کامپیوتری، طراحی به کمک کامپیوتر (CAD)، روباتیک و سیستم های اطلاعات جغرافیایی (GIS) اساسی است.

کاربردهای هندسه محاسباتی:

• گرافیک کامپیوتری: رندرینگ و دستکاری اشکال و سطوح.
• طراحی به کمک کامپیوتر (CAD): طراحی و تحلیل قطعات و سازه های مکانیکی.
• رباتیک: برنامه ریزی مسیر و تحلیل حرکت
• سیستم های اطلاعات جغرافیایی (GIS): تجزیه و تحلیل داده های مکانی و اطلاعات جغرافیایی.
• الگو شناسی: شناسایی الگوها و اشکال در پردازش تصویر.

اجسام و عملیات هندسی پایه

نقاط، خطوط، قطعات خط و سطوح:

• نکته ها: واحدهای اساسی در هندسه که نشان دهنده یک مکان در فضا هستند.
• خطوط: در هر دو جهت بی نهایت گسترش یافته و با دو نقطه مشخص می شوند.
• بخش های خط: بخشی از یک خط که توسط دو نقطه پایانی تعریف شده است.
• هواپیماها: سطوح مسطح که بی نهایت در دو بعد گسترش می یابند.

بردارها و عملیات بردار:

• بردارها: کمیت ها را با قدر و جهت نمایش دهید. برای توصیف ترجمه ها و جهت ها در فضا استفاده می شود.
• عملیات بردار: شامل جمع، تفریق، حاصل ضرب نقطه ای، ضربدری، و مقیاس بندی. این عملیات برای انجام تبدیلات هندسی و محاسبات استفاده می شود.

تبدیل‌های هندسی پایه (ترجمه، چرخش، مقیاس‌بندی):

• ترجمه: حرکت یک شی هندسی از یک مکان به مکان دیگر بدون تغییر شکل یا اندازه آن.
• چرخش: چرخاندن یک جسم به دور یک نقطه ثابت (یا مبدأ) با زاویه معین.
• مقیاس بندی: تغییر اندازه یک جسم با حفظ شکل آن، با بزرگ کردن یا کوچک کردن آن.

متریک و اندازه گیری فاصله:

• فاصله اقلیدسی: فاصله خط مستقیم بین دو نقطه در فضای اقلیدسی.
• فاصله منهتن: فاصله بین دو نقطه در امتداد محورها در زاویه قائم اندازه گیری می شود.
• سایر معیارها: شامل فاصله چبیشف و فاصله مینکوفسکی است که در زمینه های مختلف هندسی و کاربردی استفاده می شود.

نمونه هایی از الگوریتم های هندسه محاسباتی

هندسه محاسباتی شامل الگوریتم های مختلفی برای حل موثر مسائل هندسی است. در اینجا نمونه‌هایی از الگوریتم‌های رایج پیاده‌سازی شده با استفاده از پارادایم تقسیم کن:

نزدیکترین جفت امتیاز (1D)

در یک بعدی، یافتن نزدیکترین جفت نقاط را می توان با استفاده از رویکرد تقسیم و غلبه به طور موثر انجام داد. ایده این است که نقاط را به صورت بازگشتی به گروه های کوچکتر تقسیم کنید و نزدیک ترین جفت را در هر گروه پیدا کنید.

پیاده سازی پایتون:

def closest_pair_1d(points):
    def find_closest_pair(sorted_points):
        # Base case: If there are only two points, return them
        if len(sorted_points) == 2:
            return sorted_points[0], sorted_points[1]
        # Base case: If there are three points, return the closest pair
        if len(sorted_points) == 3:
            return min(
                ((sorted_points[0], sorted_points[1]),
                 (sorted_points[1], sorted_points[2]),
                 (sorted_points[0], sorted_points[2])),
                key=lambda pair: abs(pair[1] - pair[0])
            )
        # Divide the points into two halves
        mid = len(sorted_points) // 2
        left_half = sorted_points[:mid]
        right_half = sorted_points[mid:]
        # Find the closest pair in each half
        closest_pair_left = find_closest_pair(left_half)
        closest_pair_right = find_closest_pair(right_half)
        # Find the closest pair across the split
        closest_pair_split = (left_half[-1], right_half[0])
        # Return the overall closest pair
        return min(closest_pair_left, closest_pair_right, closest_pair_split, key=lambda pair: abs(pair[1] - pair[0]))

    if len(points) < 2:
        raise ValueError("At least two points are required")
    # Sort the points
    sorted_points = sorted(points)
    # Find the closest pair using divide and conquer
    return find_closest_pair(sorted_points)

# Example usage
points = [0, 1, 3, 5, 7, 9, 11]
closest_points = closest_pair_1d(points)
print(f"The closest pair of points is: {closest_points}")

نزدیکترین جفت امتیاز (2 بعدی)

در دو بعدی، مسئله نزدیکترین جفت نقطه پیچیده تر است. این شامل مرتب‌سازی نقاط و یافتن بازگشتی نزدیک‌ترین جفت در بخش‌های تقسیم‌شده، سپس بررسی در سراسر مرز تقسیم می‌شود.

پیاده سازی پایتون:

import math

def distance(point1, point2):
    return math.sqrt((point1[0] - point2[0]) ** 2 + (point1[1] - point2[1]) ** 2)

def closest_pair_2d(points):
    def closest_pair_recursive(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y):
        n = len(points_sorted_by_x)

        if n <= 3:
            return brute_force_closest_pair(points_sorted_by_x)

        mid = n // 2
        left_half_x = points_sorted_by_x[:mid]
        right_half_x = points_sorted_by_x[mid:]

        midpoint = points_sorted_by_x[mid][0]
        left_half_y = list(filter(lambda x: x[0] <= midpoint, points_sorted_by_y))
        right_half_y = list(filter(lambda x: x[0] > midpoint, points_sorted_by_y))

        (p1, q1, d1) = closest_pair_recursive(left_half_x, left_half_y)
        (p2, q2, d2) = closest_pair_recursive(right_half_x, right_half_y)

        if d1 < d2:
            d = d1
            min_pair = (p1, q1)
        else:
            d = d2
            min_pair = (p2, q2)

        (p3, q3, d3) = closest_split_pair(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y, d, min_pair)

        if d3 < d:
            return (p3, q3, d3)
        else:
            return min_pair[0], min_pair[1], d

    def brute_force_closest_pair(points):
        min_dist = float('inf')
        p1 = None
        p2 = None
        for i in range(len(points)):
            for j in range(i + 1, len(points)):
                d = distance(points[i], points[j])
                if d < min_dist:
                    min_dist = d
                    p1, p2 = points[i], points[j]
        return p1, p2, min_dist

    def closest_split_pair(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y, delta, best_pair):
        n = len(points_sorted_by_x)
        mid_x = points_sorted_by_x[n // 2][0]

        Sy = [point for point in points_sorted_by_y if mid_x - delta <= point[0] <= mid_x + delta]

        best = delta
        len_Sy = len(Sy)
        for i in range(len_Sy - 1):
            for j in range(i + 1, min(i + 7, len_Sy)):
                p, q = Sy[i], Sy[j]
                dst = distance(p, q)
                if dst < best:
                    best = dst
                    best_pair = (p, q)
        return best_pair[0], best_pair[1], best

    points_sorted_by_x = sorted(points, key=lambda x: x[0])
    points_sorted_by_y = sorted(points, key=lambda x: x[1])

    p1, p2, min_dist = closest_pair_recursive(points_sorted_by_x, points_sorted_by_y)
    return p1, p2, min_dist

# Example usage
points = [(2, 3), (2, 4), (12, 30), (40, 50), (5, 1), (12, 10), (3, 4)]
closest_points = closest_pair_2d(points)
print(f"The closest pair of points is: {closest_points[0]} and {closest_points[1]} with a distance of {closest_points[2]}")

اسکن گراهام (هال محدب)

گراهام اسکن الگوریتمی برای یافتن بدنه محدب مجموعه ای از نقاط به صورت دو بعدی است. نقاط را بر اساس زاویه قطبی نسبت به یک محور مرتب می کند و سپس بدنه محدب را می سازد.

پیاده سازی پایتون:

import math

def graham_scan(points):
    # Find the point with the lowest y-coordinate, break ties by x-coordinate
    pivot = min(points, key=lambda p: (p[1], p[0]))
    points.remove(pivot)

    # Sort the points based on polar angle with the pivot
    points.sort(key=lambda p: (math.atan2(p[1] - pivot[1], p[0] - pivot[0]), p[1], p[0]))

    # Add the pivot back to the beginning
    points.insert(0, pivot)

    # Initialize the hull with the first two points
    hull = [points[0], points[1]]

    for p in points[2:]:
        while len(hull) > 1 and orientation(hull[-2], hull[-1], p) != 2:
            hull.pop()
        hull.append(p)

    return hull

def orientation(p, q, r):
    # Function to find the orientation of the triplet (p, q, r)
    # 0 -> p, q, and r are collinear
    # 1 -> Clockwise
    # 2 -> Counterclockwise
    val = (q[1] - p[1]) * (r[0] - q[0]) - (q[0] - p[0]) * (r[1] - q[1])
    if val == 0:
        return 0
    elif val > 0:
        return 1
    else:
        return 2

# Sample points
points = [(0, 0), (1, 1), (2, 2), (2, 0), (0, 2), (0.5, 2.5), (2.5, 2)]

# Call the function
convex_hull = graham_scan(points)

# Print the result
print("Convex Hull:", convex_hull)

جارویس مارچ (کادوپیچ) (کاسه محدب)

Jarvis March (Gift Wrapping) الگوریتم دیگری برای یافتن بدنه محدب است. از سمت چپ ترین نقطه شروع می شود و دور نقاط می پیچد تا بدنه را پیدا کند.

پیاده سازی پایتون:

def gift_wrapping(points):
    hull = []
    start = min(points, key=lambda p: p[0])  # Find the leftmost point
    on_hull = start
    while True:
        hull.append(on_hull)
        next_point = points[0]
        for p in points:
            if (next_point == on_hull) or (orientation(on_hull, next_point, p) == 2):
                next_point = p
        on_hull = next_point
        if on_hull == start:
            break
    return hull

def orientation(p, q, r):
    # Function to find the orientation of the triplet (p, q, r)
    # 0 -> p

, q, and r are collinear
    # 1 -> Clockwise
    # 2 -> Counterclockwise
    val = (q[1] - p[1]) * (r[0] - q[0]) - (q[0] - p[0]) * (r[1] - q[1])
    if val == 0:
        return 0
    elif val > 0:
        return 1
    else:
        return 2

# Sample points
points = [(0, 0), (1, 1), (2, 2), (2, 0), (0, 2), (0.5, 2.5), (2.5, 2)]

# Call the function
convex_hull = gift_wrapping(points)

# Print the result
print("Convex Hull:", convex_hull)

این پیاده سازی ها یک نقطه شروع عملی برای کاوش الگوریتم های هندسه محاسباتی فراهم می کنند.