ریاضیات برای یادگیری ماشین – روز 4

Summarize this content to 400 words in Persian Lang

راه حل های خاص و عمومی

آیا تا به حال فکر کرده اید که آیا معادله ای با دو یا چند متغیر وجود دارد که شناخته شده نیستند و اطلاعات کافی برای استفاده از روش حذف اولیه وجود ندارد؟ نترس راه حلی هست

همچنین، این موضوع فقط در مورد راه حل های خاص و کلی به طور عمیق بحث خواهد کرد زیرا متوجه شدم که برای درک واقعی این موضوع حتی بیش از یک ساعت طول می کشد و آن را بسیار جذاب می دانم 😀

راه حل های خاص

هنگامی که یک سیستم بیش از یک راه حل داشته باشد، به آن راه حل خاص/ویژه می گویند. یکی از راه‌حل‌ها این است که اگر ستون‌هایی با یک و صفر وجود داشته باشد، موقعیت یک‌ها در سطرها و ستون‌ها منحصربه‌فرد است و یک‌ها در تمام سطرها وجود دارند.

مثال:

(1080-40120-1200417)(ایکس1ایکس2ایکس3ایکس4ایکس5)=(42812)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -12 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ \ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}
⎝⎛را100را010را824را001را-4-127را⎠⎞را⎝⎛راایکس1راایکس2راایکس3راایکس4راایکس5رارا⎠⎞را=⎝⎛را42812را⎠⎞را

اکنون، ممکن است حل این موضوع غیرممکن باشد، اما اجازه دهید هر ماتریس را در یک زمان تجزیه کنیم.

نگاهی به ماتریس A بیندازید:

آ=(1080-40120-1200417)

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -12 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 7 \end{pmatrix}
آ=⎝⎛را100را010را824را001را-4-127را⎠⎞را

خواهید دید که ستون 1، 2، و 4 در صورت ایزوله شدن، تبدیل به یک ماتریس هویت یا همان طور که قبلاً گفتم، به یک ماتریس منحصر به فرد در تمام سطرها و صفرها تبدیل می شود.

آ(آرهorدهrهد)=(1008-40102-1200147)

A (دوباره مرتب شده) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -12 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 7 \end{pmatrix}
آ(آرeorدپیش از ایند)=⎝⎛را100را010را001را824را-4-127را⎠⎞را

در حالی که B را می توان به هر ردیف جدا کرد:

(42812)=42(100)+8(010)+12(001)

\begin{pmatrix} 42 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} = 42 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 12 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
⎝⎛را42812را⎠⎞را=42⎝⎛را100را⎠⎞را+8⎝⎛را010را⎠⎞را+12⎝⎛را001را⎠⎞را

معنی:

اگر ستون 3 و 5 را به طور کامل نادیده بگیریم، می توانیم راه حل خاص را پیدا کنیم!

(1080-40120-1200417)(4280120)=(42812)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -12 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 42 \ \ 8 \\ 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}
⎝⎛را100را010را824را001را-4-127را⎠⎞را⎝⎛را4280120را⎠⎞را=⎝⎛را42812را⎠⎞را

(42+0+0+0+00+8+0+0+00+0+0+12+0)=(42812)

\begin{pmatrix} 42 + 0 + 0 + 0 + 0 \\ 0 + 8 + 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 + 12 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}
⎝⎛را42+0+0+0+00+8+0+0+00+0+0+12+0را⎠⎞را=⎝⎛را42812را⎠⎞را

تبریک می گویم! شما راه حل خاص را پیدا کرده اید!

∴(ایکس1ایکس2ایکس3ایکس4ایکس5)=(4280120)

\ بنابراین \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 \\ 8 \\ 0 \\ 12 \\ 0 \\ end{pmatrix}
∴⎝⎛راایکس1راایکس2راایکس3راایکس4راایکس5رارا⎠⎞را=⎝⎛را4280120را⎠⎞را

راه حل های عمومی

حالا اینجاست که یک ساعت طول کشید تا بفهمم آنها چه می‌گویند، پس بیایید به آن بپردازیم.

راه حل های عمومی اساساً 0 را به معادله اضافه می کنند. بجای

بر اساس تعداد ستون‌های مرتبط با ماتریس غیرهویت، 0 را به بخش اول اضافه می‌کنیم (در مورد ما دو ستون، ستون 3 و 5)

آایکس+ل1⋅0+ل2⋅0=ب

A x + \lambda_1 \cdot 0 + \lambda_2 \cdot 0 = B
آایکس+ل1را⋅0+ل2را⋅0=ب

لامبدا به این دلیل استفاده می‌شود که چون در ۰ ضرب می‌شود، هر مقیاس‌کننده‌ای که اضافه می‌شود همچنان صفر باقی می‌ماند، بنابراین تمام مقادیر اضافه شده به آن را پوشش می‌دهد.

راه حل کلی اول (ردیف سوم)

(824)

\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
⎝⎛را824را⎠⎞را

با استفاده از همان روش جداسازی قبلی:

(824)=8(100)+2(010)+4(001)

\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
⎝⎛را824را⎠⎞را=8⎝⎛را100را⎠⎞را+2⎝⎛را010را⎠⎞را+4⎝⎛را001را⎠⎞را

شما به یاد خواهید داشت که این جدایی زمانی که به ترتیب ماتریس هویت به x اضافه شود به پاسخ تبدیل خواهد شد. معنی:

اگر (ایکس1ایکس2ایکس3ایکس4ایکس5)=(82040)، سپس ب=(824)

\text{If } \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{ pmatrix} \text{، سپس } B = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
اگر ⎝⎛راایکس1راایکس2راایکس3راایکس4راایکس5رارا⎠⎞را=⎝⎛را82040را⎠⎞را، سپس ب=⎝⎛را824را⎠⎞را

پس چگونه آن را صفر کنم؟

آسان! ستونی که به ماتریس مرتبط است (در مورد ما سومین است) آن را -1 می کنیم.

(ایکس1ایکس2ایکس3ایکس4ایکس5)=(82-140)

شروع
⎝⎛راایکس1راایکس2راایکس3راایکس4راایکس5رارا⎠⎞را=⎝⎛را82-140را⎠⎞را

در اینجا اثبات است

(1080-40120-1200417)(82-140)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -12 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \ \ 2 \\ -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}
⎝⎛را100را010را824را001را-4-127را⎠⎞را⎝⎛را82-140را⎠⎞را

(8+0-8+0+00+2-2+0+00+0-4+4+0)=(000)

\begin{pmatrix} 8 + 0 – 8 + 0 + 0 \\ 0 + 2 – 2 + 0 + 0 \\ 0 + 0 – 4 + 4 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
⎝⎛را8+0-8+0+00+2-2+0+00+0-4+4+0را⎠⎞را=⎝⎛را000را⎠⎞را

اکنون پاسخ اول را به راه حل کلی خود اضافه می کنیم!

آایکس+ل1⋅(82-140)+ل2⋅0=ب

A x + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot 0 = B
آایکس+ل1را⋅⎝⎛را82-140را⎠⎞را+ل2را⋅0=ب

راه حل عمومی دوم (ردیف پنجم)

مسابقه سورپرایز!

اکنون که می دانید چگونه معادله جواب کلی را پیدا کنید، سعی کنید خود دومی را پیدا کنید! پاسخ در پایین است، بنابراین شما می توانید بررسی کنید که آیا درست است یا نه.

(-4-127)

\begin{pmatrix} -4 \\ -12 \\ 7 \end{pmatrix}
⎝⎛را-4-127را⎠⎞را

معادله کامل

ما راه حل های خاصی را پیدا کرده ایم که برای ایجاد راه حل کلی لازم است!

برای وضوح، بیایید در مورد آنچه انجام دادیم بحث کنیم:

راه حل خاص Ax = B را پیدا کنید
تمام راه حل های Ax = 0 را پیدا کنید
مراحل یک و دو را با هم اضافه کنید

با اتمام این مراحل، تبریک می گویم! شما با راه حل های خاص و کلی آشنا شده اید. از اینجا به بعد، می دانید که مواردی وجود دارد که متغیرهای مجهول بزرگ با معادلات کم را می توان با شرایط مناسب حل کرد.

راه حل کلی

(ایکس∈آر5∣ایکس=(4280120)+ل1(82-140)+ل2(-4-1207-1)،  ل1،ل2∈آر)

\left( x \in \mathbb{R}^5 \mid x = \begin{pmatrix} 42 \\ 8 \\ 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 8 \ \ 2 \\ -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -4 \\ -12 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \; lambda_1، \lambda_2 \in \mathbb{R} \راست)
⎝⎛راایکس∈آر5∣ایکس=⎝⎛را4280120را⎠⎞را+ل1را⎝⎛را82-140را⎠⎞را+ل2را⎝⎛را-4-1207-1را⎠⎞را،ل1را،ل2را∈آر⎠⎞را

PS کتاب با استفاده از براکت‌های مجعد بزرگ علامت‌گذاری شده است { اما یک خطا در Dev.to برگرداند، بنابراین من از براکت های معمولی استفاده می کنم (هر چند در وب سایت من کار می کند!). در ضمن امیدوارم جواب درست رو گرفته باشید 😀

تصدیق

من نمی توانم در این مورد اغراق کنم: من واقعاً از اینکه این کتاب برای همه منبع باز است سپاسگزارم. بسیاری از افراد قادر خواهند بود یادگیری ماشینی را در سطح اساسی یاد بگیرند و درک کنند. چه تغییر شغل، چه ابهام زدایی از هوش مصنوعی، یا صرفاً یادگیری به طور کلی، این کتاب ارزش بسیار زیادی را حتی برای آهنگساز نوپا مثل خودم بنابراین، مارک پیتر دیزنروث، A. Aldo Faisal، و Cheng Soon Ong، از شما برای این کتاب متشکرم.

منبع:دیزنروث، MP، فیصل، AA، و اونگ، CS (2020). ریاضیات برای یادگیری ماشین. کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج.https://mml-book.com